Урок 94

Лева

1. Признаки делимости

(Это тоже из книжки "Три дня в карликании")

Признак делимости на 2

Мы начали с делимости на 2, что Лева уже знал. Можно ли разделить 4 яблка на 2?

А 5? (Лева спросил, можно ли резать - нет, нельзя)

Можно ли разделить 1592 на 2? Лева довольно хорошо представляет, что такое четные числа, поэтому для него нетрудно было вычислить закономерность - достаточно посмотреть на последнюю цифру, чтобы определить признак делимости на 2.

Признак делимости на 5 и 10

Это задание было похоже. 135 делится на 5 потому что 130 - это 13 десятков, а каждый десяток делится на 5, и еще 5, а 5 тоже делится на 5. Опять же, последней цифры достаточно, чтобы определить, делится ли число на 5 или на 10

Признак делимости на 9

Я всегда знал о признаке делимости на 3 - сумма цифр должна делиться на 3. И меня удивило, что вначале в книге был описан признак делимости на 9 (сумма цифр делится на 9), а затем уже и на 3.

После того, как я объяснил Леве как узнать делится ли число на 9, я решил попробовать объяснить ему, почему так. Это уже неплохое введение в алгебру.

Вот как я ему объяснял:

Предположим у тебя есть число 288.

288 = 2x100 + 8x10 + 8

А это можно представить так:

2 х 100 это два взять сто раз. Можно два взять 99 раз и прибавить еще 2

2х100 = 2x99 + 2

8x10 это 8 взять 10 раз. Можно 8 взять 9 раз и прибавить еще один раз по 8

8 х 10 = 8 x 9 + 8

Затем я просил Леву преставлять числа в аналогичном виде

6 х 100 = ? (6 x 99 + 6)

3 x 1000 = ? (3 x 999 + 3)

N x 100 = ? (N x 99 + N)

После этого мы рассмотрели число ABC

ABC = A x 100 + B x 10 + C = A x 99 + A + B x 9 + B + C

A x 99 делится на 99, потому что 99 делится на 9

B x 9 делится на 9 потому что B берется 9 раз.

Остается под вопросом А + B+ C - если сумма этих чисел делится на 9 то и всё число ABC будет делится на 9

Точно так же доказывается деление на 3 - так как А х 99 и B x 9 делятся на 3, то остается проверить А + B +C

Мы проделали это доказательство раза 4, но я не уверен, что Лева все понял. Надо будет повторить и посмотреть...

Дополнение:

Признак делимости на 11

Очень похож признак делимости на 11

ABCD = A x 1000 + B x 100 + C х 10 + D

Чтобы делилось на 11, добавим и отнимем:

ABCD = A x (990 + 11) - A + B x 99 + B + C x 11 - C + D

Уберем все числа, которые делятся на 11, получится, чтобы число делилось на 11

А + C = B + D

(Сумма четных цифр равна сумме нечетных)