Урок 102

Уравнения

(Лева)

По дороге в школу я задаю Леве задачи (у нас есть около 6 минут)

Решили порешать уравнения.

Представим что х - это ящик, в котором какое-то число.

В данных примерах мы не обсуждали правила переноса с одной стороны уравнения в другую, и Лева решал задачи интуитивно.

Чему равен х?

x = 2 + 2

х + x = 10

x + 2 = 10

х*2 = 6

x *3 = 12

x + x + 1 = 6

В данном примере Лева предложил один х : 2, а другой х: 3, но я ему сказал, что это всего один ящик с одним числом, и он просто много раз используется. Вскоре Лева догадался, что получится 2.5

И последняя задача, самая сложная:

х-х =1

Какое бы число Лева не пробовал, ничего не получалось :)

Но в конце концов решил: "Неправильная задача!"

Урок 101

Сравнение дробей

(Лева)

В книге "Три дня в Карликании" дошли до сравнения дробей. "Очень простое" объяснение с перемножением знаменателей мне ужасно не понравилось, поэтому пришлось объяснить Леве по своему.

Двум обжорам дали торт. Желтому разрешилось съесть 2/3 от этого торта, а серому обжоре 4/7. Кто бы съел больше?

Торт был прямоугольный. Желтый обжора встал слева от торта и разрезал его на 3 части, чтобы взять себе 2 из них.

Серый обжора встал снизу торта и разрезал его на 7 частей, чтобы отмерить себе 4 из них.

В результате оказалось много квадратных (прямоугольных) кусочков.

Если посчитать количество желтых кусочков, то их окажется 14, а серых 12, то есть желтый обжора (2/3) победил серого (4/7)

Урок 100

Римская нотация

Лева

Читая книгу "Три дня в Карликании" решили изучитъ римские числа

Symbol	Value
I	1 (one) (unus)
V	5 (five) (quinque)
X	10 (ten) (decem)
L	50 (fifty) (quinquaginta)
C	100 (one hundred) (centum)
D	500 (five hundred) (quingenti)
M	1,000 (one thousand) (mille)

Не очень просто объяснить когда использются дополнительные единицы справа, или отнимаются единицы слева от основного символа: Закон такой, от 1 до 3: добавляем единицы справа, 4: добавляем единицу слева от следующего символа.

Задача 1. Как представитъ следующие числа в виде римской нотации?

1: I

2: II

3: III

5: V

4: IV

8 VIII

11 XI

14 XIV

43 XLIII

432 CDXXXII

Задача 2

Дополнение: Что означают следующие числа?

XXXII 32

CMXXV 925

MCDXLIV 1444

MMM 3000

Затем Лева вспомнил, что видел римскую нотацию на часах и нарисовал циферблат использованием римской нотации

Урок 99

Задачи на переливание жидкостей

Лева

Задача 1.

Естъ две банки – одна вмещает 3 литра, другая 2. Как можно отмерить 1 литр, если можно наливать сколько угодно воды и выливать когда угодно.

Лева все хотел попробовать на глаз ­– отлить приблизительно половину из 2­­–х литровой банки, или треть из 3­–х литровой. В конце концов додумался (перелить из 3 литровой в 2х литровую, чтобы остался один литр)

Задача 2

Есть 5 литровая и 2 литровая банка. Как отмерить один литр? (перелить в двух литровую, чтобы осталось 3 литра затем опустошить двух литровую и перелить еще раз, тогда в 5 ти литровой останется 1 литр)

Задача 3

Есть 5 литровая и 3 литровая банка. Как отмерить один литр?

В решении я использую следующие обозначения:

5/2 ­– в 5 литровой банке содержится 2 литра

5–>3 – перелить из 5 литровой в 3х литровую

5–> вылить воду из 5 литровой банки

–>3 налить воду в 3х литровую банку

5­/5 3/0 5 –> 3

5/2 3/3 3–>

5/2 3/0 5 –> 3

5/0 3/2 –>5

5/5 3/2 5–> 3

5/4 3/3 3–>

5/4 3/0 5–>3

5/1 (!) 3/3

Задача 4

Есть 7 литровая и 4 литровая банка. Как отмерить один литр?

7/0 4/0 –>4

7/0 4/4 7 <–4

7/4 4/0 –>4

7/4 4/4 7 <–4

7/7 4/1 (!)

Урок 98

Эксперементируем с жидкостями

Лева

Начал с первого урока, который я давал ровно два года назад. Конечно, несколько измененный, но все равно, сплошное разочарование.

1. В каком сосуде больше?

Начинаем с двух стаканов, в которых одинаковое количество жидкости. Из одного стакана наливаем в сосуд одной формы, из другого – в сосуд другой формы. Затем я спросил у Левы, в каком из последних сосудах больше воды?

Во первых, он стал мерить на глаз, затем пальцами, у него совершенно отсутсвовало понимание как измерять жидкости. Я сказал ему, что нельзя определить, где больше, сравнишая сосуды двух разных форм.

Я хотел, чтобы он посмотрел на первоначальные сосуды, чтобы по ним определить, где осталось меньше воды, и таким образом определить, куда больше налили. Мало того, что он до этого не додумался, но даже когда я ему подсказал, он не сразу сообразил, что если осталось меньше, то значит из него налили больше.

2. Разливаем по нескольким сосудам

Из одного стакана я разлил воду в несколько сосудов, из другого в третий сосуд. Спросил где больше – в двух или в одном? На этот раз он уже стал использовать первоначальные сосуды и без труда определил ответ

3. Делим воду пополам

Я дал Леве два стакана, один наполненный, другой пустой, и попросил его разделить воду пополам, он без труда справился, переливая и сравнивая.

Затем я дал Леве два сосуда разных форм и попросил его разлить воду из стакана по этим сосудам, чтобы в них было поровну воды. Я забрал второй идентичный стакан. Признаться я и сам не знаю как ответить на этот вопрос. Я дал Леве маленькую рюмочку. Они никак не мог понять зачем она ему, пытался мерять высотой рюмочки высоту воды в сосуде (что случилось с моим умным ребенком?) После долгих попыток и подсказок наконец то стал наливать в рюмочку воду. Мы измерили, сколько рюмочек в стакане (3 и 1/4) и он без труда посчитал, сколько нужно отлить в каждый стакан (1.5 и 1/8 – с арифметикой все в порядке)

Возможно один из способов отмерить одинаковое количество воды – использовать сообщающиеся сосуды и две одинаковые трубочки, чтобы начать из них высасывать воду одновременно в два сосуда...

Урок 97

Занятия со спичками

Лева, Даник, Саша

Эта задача послужила мне очень сильным толчком:

На данной картине нужно переложить две спички таким образом, чтобы получилось 5 одинаковых квадратов. Дети мучались больше 20 минут и не смогли решить эту задачу без подсказки.

(нужно переложитъ две спички из любого угла и образовать верхний средний и нижний средний квадраты)

После этого я дал им задачу с волком, козой и капустой – эту задачу я давал детям около двух лет назад и они справлались с ней. Опять провал. Дети совершенно не хотели эксперементировать и после слабеньких попыток сдались.

Что же происходит? Такой регресс за два года?

Я понял, что это связано со способностью мыслить оригинально, вне шаблона. В возрасте 4 лет у детей отсутствует шаблон, они пытаются все и более успешны. Затем школа и монотонные примеры отбивают всю оригинальностъ.

Это очень грустно, я не надеялся на Левину школу в том, что она ему даст много в математике, но отбить способность мыслить я никак не ожидал.

Придется повторить все задания, которые я записал, с самого начала...

Урок 96

Логика

Лева

Недавно я встретил тест http://www.hr-portal.ru/pages/hu/logika.php

Я решил немного упроститъ его для детей. Вот несколько примеров:

Шмудрик ужасно боится мышек и тараканов.

1. Правда ли, что тараканы кажутся шмудрику страшнее, чем мышки?

Первый вопрос, который я услышал от Левы – а кто такой шмудрик? К решению данной задачи это никакого значения не имеет. Приведенная задача обучает ребенка делатъ логические выводы из предоставляемой информации. Например из вышеприведенной задачи ничего не следует о сравнимой страшности мышей и тараканов, поэтому это неправда, что тараканы кажутся шмудрику страшнее чем мышки.

У Грымзиков обязателъно есть либо крылъя, либо хвосты, либо и то и другое

1. Бывают ли бесхвостые грымзики?

Так как у грымзиков есть либо крылья, либо хвост, то могут существоватъ и бесхвостые грымзики, в таком случае у них будут крылья

2. Правда ли это, что у бесхвостого грымзика обязателъно естъ крылъя?

Да. Раз у него естъ хоть что то: хвост или крылья, то если нет хвоста, должны быть крылья

3. Я нашел у себя под диваном зверя без крылъев и без хвоста. Может ли он бытъ грымзиком?

Нет, у грымзика должно быть хоть что нибудъ, а если нет, то это и не грымзик

4. Гловаръ грымзиков хвостат и крылат. Может ли он быть настоящим грымзиком, или он претворяется?

Он может бытъ и настоящим грымзиком, так как у них есть либо хвосты, либо крылья, либо и то и другое

5. Можете ли вы точно утверждатъ, что хотъ один грымзик крылат?

Это нелгкий вопрос. У грымзиков МОГУТ БЫТЬ крылья, но это не означает, что они естъ хотъ у кого то из грымзиков – ведь у всех могут бытъ просто хвосты. Поэтому ответ на этот вопрос: нет, это не обязательно, что хоть один грымзик крылат.

6. В моем доме грымзики перегрызли всю обувъ. Означает ли это, что все грымзики зубасты?

Не означает. Даже если у грымзиков, наскодничащих в моем доме скорей всего естъ зубы, их могут не бытъ у других грымзиков.

Лишь только брумик попьет водички, он сразу же начинает играть в футбол.

1. Брумика только что напоили водичкой. Что он сейчас делает?

Играет в футбол

2. Правда ли, что если брумик не пил, он ни за что не согласится игратъ в футбол?

Неправда. Брумик может игратъ в футбол и в другое время, не обязательно попив водичку.

3. Брумик играет в футбол. Правда ли то, что он только что попил?

Неправда. Брумик может игратъ в футбол и в другое время, не обязательно попив водичку.

Все хохотушки умеют игратъ в шашки.

1. Правда ли, что тот, кто научился игратъ в шашки, становится хохотушкой?

Неправда. Не только хохотушки умеют играть в шашки

2. Мне показалось, что по улице ползла хохотушка, не умеющая игратъ в шашки. Ошибся ли я?

Я ошибся. Если хохотушка не умела игратъ в шашки, то она и не хохотушка, потому что ВСЕ хохотушки умеют играть в шашки.

3. Правда ли, что могут быть хохотушки, которые играют в шахматы?

Правда, такое возможно.

Когда козлюх ест траву, он воет.

1. Козлюх молча жует что то. Означает ли это, что он жует траву?

Нет, он точно не жует траву, иначе он бы выл, а не жевал молча

2. Темной ночъю, когда на небе показалась луна, завыл козлюх. Означает ли это, что он нашел траву?

Нет, не означает, козлюх может вытъ и при других обстоятельствах, не только при поедании травы

3. Я угостил козлюха бутербродом с вареньем. Завыл ли он?

Ответ не этот вопрос не одназначен. Если бы в бутерброде была трава, то он бы точно завыл, а если травы не было то он все равно мог бы завытъ, ничего не известно о других обстоятелъствах, при которых козлюх воет

Балинья высиживает либо красные, либо синие яйца.

1. Я нашел красное, синее и зеленое яйцо в гнезде. Могла ли высиживатъ их балинья?

Нет. Балинья ни за что бы не согласилась высиживать яйца, если они не синие и не красные

2. Естъ два леса. В одном все балиньи высиживают красные яйца. Означает ли это, что в другом лесу все балиньи высиживают синие яйца?

Не означает. В другом лесу могут бытъ красные яйца тоже.

3. Балинья категорически отказывается сидетъ на яйце. Означает ли это, что яйцо зеленое?

Нет, яйцо может бытъ другого цвета, все что мы знаем, это то, что яйцо не красное и не синее.

Только когда быдлозавр смотрит на солнце, он хлопает ушами.

1. Быдлозавр не хлопает ушами. Смотрит ли он на солнце?

Нет, если бы он смотрел на солнце, он бы хлопал ушами.

2. Быдлозавр хлопает ушами. Означает ли это что он он смотрит на солнце?

Да. Быдлозавр хлопает ушами толъко когда он смотрит на солнце. Раз он хлопает ушами, значит он смотрит на солнце.

3. Быдлозавр смотрит спектакль. Все зрители аплодируют. Может ли Быдлозавр хлопатъ ушами, если у него нет рук?

Нет. Быдлозавр может хлопатъ ушами только когда он смотрит на солнце. А так как он смотрит спектакль, то хлопать ушами он не может.

Урок 95

Лева

1. Простые числа

Это тоже идея из "Три дня в Карликании" - есть чистые, неделимые, как кристаллы, числа - простые, и другие, которые делятся. Мы написали ряд чисел, от 1 до 20 и делители каждого из этих чисел напротив.

1 - 1

2 - 1,2

3 - 1,3

4 - 1,2,4

...

Затем мы нашли те числа, которые делятся только на себя и на один. Это и были простые числа.

Дополнение. Использовать другой способ нахождения простых чисел - как для фильтровки золота - отсеить все числа делящиеся на 2, на 3, и т.д. оставшиеся числа - простые.

Урок 94

Лева

1. Признаки делимости

(Это тоже из книжки "Три дня в карликании")

Признак делимости на 2

Мы начали с делимости на 2, что Лева уже знал. Можно ли разделить 4 яблка на 2?

А 5? (Лева спросил, можно ли резать - нет, нельзя)

Можно ли разделить 1592 на 2? Лева довольно хорошо представляет, что такое четные числа, поэтому для него нетрудно было вычислить закономерность - достаточно посмотреть на последнюю цифру, чтобы определить признак делимости на 2.

Признак делимости на 5 и 10

Это задание было похоже. 135 делится на 5 потому что 130 - это 13 десятков, а каждый десяток делится на 5, и еще 5, а 5 тоже делится на 5. Опять же, последней цифры достаточно, чтобы определить, делится ли число на 5 или на 10

Признак делимости на 9

Я всегда знал о признаке делимости на 3 - сумма цифр должна делиться на 3. И меня удивило, что вначале в книге был описан признак делимости на 9 (сумма цифр делится на 9), а затем уже и на 3.

После того, как я объяснил Леве как узнать делится ли число на 9, я решил попробовать объяснить ему, почему так. Это уже неплохое введение в алгебру.

Вот как я ему объяснял:

Предположим у тебя есть число 288.

288 = 2x100 + 8x10 + 8

А это можно представить так:

2 х 100 это два взять сто раз. Можно два взять 99 раз и прибавить еще 2

2х100 = 2x99 + 2

8x10 это 8 взять 10 раз. Можно 8 взять 9 раз и прибавить еще один раз по 8

8 х 10 = 8 x 9 + 8

Затем я просил Леву преставлять числа в аналогичном виде

6 х 100 = ? (6 x 99 + 6)

3 x 1000 = ? (3 x 999 + 3)

N x 100 = ? (N x 99 + N)

После этого мы рассмотрели число ABC

ABC = A x 100 + B x 10 + C = A x 99 + A + B x 9 + B + C

A x 99 делится на 99, потому что 99 делится на 9

B x 9 делится на 9 потому что B берется 9 раз.

Остается под вопросом А + B+ C - если сумма этих чисел делится на 9 то и всё число ABC будет делится на 9

Точно так же доказывается деление на 3 - так как А х 99 и B x 9 делятся на 3, то остается проверить А + B +C

Мы проделали это доказательство раза 4, но я не уверен, что Лева все понял. Надо будет повторить и посмотреть...

Дополнение:

Признак делимости на 11

Очень похож признак делимости на 11

ABCD = A x 1000 + B x 100 + C х 10 + D

Чтобы делилось на 11, добавим и отнимем:

ABCD = A x (990 + 11) - A + B x 99 + B + C x 11 - C + D

Уберем все числа, которые делятся на 11, получится, чтобы число делилось на 11

А + C = B + D

(Сумма четных цифр равна сумме нечетных)

Урок 93

Лева

1. Перестановки слагаемых

Это задание из книги "Три дня в карликании" - замечательная книга про разные математические проблемы, написанная как сказка. У меня давно была такая идея - написать подобную книгу, увы, уже написали.

1+2+3+4 = 10

2+1+3+4 = 10

А сколькими способами можно написать сумму этих цифр?

Я предложил Леве попробовать найти все комбинации. Мы использовали такой метод

1. Вначале идет самая большая цифра

2. Комбинации не могут повторяться

Получилось

4 + 3 + 2 + 1 = 10

Затем написали

4 + 3 + 2 +...

Но 1 уже была на этом месте, поэтому так нельзя. Напишем

4 + 3 + ...

Двойку писать нельзя, так что ставим 1, получается

4 + 3 + 1 + 2

Затем написали

4 + 3 + ...

И 1 и 2 уже были на третьем месте - не получается. Надо писать

4 + ...

Так как мы всегда ставим самые большие числа вначале, а 3 уже не получается, то берем 2

4 + 2 + 3 + 1

Лева быстро сообразил как работает этот метод и мы в течение 10 минут сделали все 24 комбинации, закончив

1 + 2 + 3 + 4

Затем мы рассмотрели закономерности в полученном ряду. Например, каждая цифра появлялась в своем столбике 6 раз.

Я попытался объяснить Леве, что 24 получается из 4 х 3 х 2 х 1, но толком не смог объяснить почему именно такое произведение.

Урок 92

Лева, Эрика

1. Пишем слова по инструкции

Я не нашел книгу, по которой мы с детьми занимаемся периодически, в которой даны инструкции как нарисовать какое-нибудь животное или предмет на бумаге в клеточку (напр, 2 налево, 3 вверх, 1 направо вверх по диагонали, и т.д.) Поэтому получилось такое занятие:

Один ребенок диктует другому как написать какое-нибудь слово, например, буква Т пишется:

5 вверх, 2 влево, 4 вправо

Детям ужасно понравилось это занятие. Им также приходится использовать воображение, потому что неочевидно как спроектировать буквы на клеточки.

Другая проблема - инструкции подразумевают, что карандаш не отводится от бумаги, то есть буквы будут соединены одна с другой, это тоже ново для ребенка.